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数学解题的三种思维方法

做任何事情都要讲究方法。方法对头,事半功倍;方法不当,事倍功半。解答数学问题,关键也在于掌握思考问题的方法,少走弯路,以尽快获得满意的答案。

数学解题的思维方法很多,如分析法、综合法、变更问题法、试验法、联想法、换元法、数形结合法、构造法、待定系数法等等。其中前三种方法是解题中最常见,使用频率最高的方法,这里就这三种方法联系实际问题,与读者切磋一下它们的使用技巧。

(一)分析法与综合法

分析法和综合法是思维方向相反的两种思考方法。在数学解题中,分析法是从数学题的待证结论或需求问题出发,一步一步地探索下去,最后达到题设的已知条件。综合法则是从数学题的已知条件出发,经过逐步的逻辑推理,最后达到待证结论或需求问题。对于解答证明来说,分析法表现为执果索因,综合法表现为由果导因,它们是寻求解题思路的两种基本思考方法,应用十分广泛。为便于读者熟练地掌握这两种方法,从而获得希望成功的解题思路,现举例说明如下。

例1.设a、b是两个正实数,且a≠b,求证:a3+b3>a2b+ab2.

证明:(用分析法思路书写)

要证 a3+b3>a2b+ab2成立,

只需证(a+b)(a2-ab+b2)>ab(a+b)成立,

即需证a2-ab+b2>ab成立。(∵a+b>0)

只需证a2-2ab+b2>0成立,

即需证(a-b)2>0成立。

而由已知条件可知,a≠b,有a-b≠0,所以(a-b)2>0显然成立,由此命题得证。

(以下用综合法思路书写)

∵a≠b,∴a-b≠0,∴(a-b)2>0,即a2-2ab+b2>0

亦即a2-ab+b2>ab

由题设条件知,a+b>0,∴(a+b)(a2-ab+b2)>(a+b)ab

即a3+b3>a2b+ab2,由此命题得证。

从例1容易看出,分析法的特点是:从“未知”看“需知”,逐步靠拢“已知”,其逐步推理实际上是要寻找它的充分条

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